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6.2. Controlador PID

Un controlador o regulador PID es un dispositivo que permite controlar un sistema en lazo cerrado para que alcance el estado de salida deseado. El controlador PID está compuesto de tres elementos que proporcionan una acción Proporcional, Integral y Derivativa. Estas tres acciones son las que dan nombre al controlador PID.

Sistema de control en lazo cerrado con controlador PID

Señal de referencia y señal de error

La señal r(t) se denomina referencia e indica el estado que se desea conseguir en la salida del sistema y(t). En un sistema de control de temperatura, la referencia r(t) será la temperatura deseada y la salida y(t) será la temperatura real del sistema controlado.

Como puede verse en el esquema anterior, la entrada al controlador PID es la señal de error e(t). Esta señal indica al controlador la diferencia que existe entre el estado que se quiere conseguir o referencia r(t) y el estado real del sistema medido por el sensor, señal h(t).

Si la señal de error es grande, significa que el estado del sistema se encuentra lejos del estado de referencia deseado. Si por el contrario el error es pequeño, significa que el sistema ha alcanzado el estado deseado.

Acción de control Proporcional

Como su nombre indica, esta acción de control es proporcional a la señal de error e(t). Internamente la acción proporcional multiplica la señal de error por una constante Kp.

Esta acción de control intenta minimizar el error del sistema. Cuando el error es grande, la acción de control es grande y tiende a minimizar este error.

Aumentar la acción proporcional Kp tiene los siguientes efectos:

1º - Aumenta la velocidad de respuesta del sistema. 2º - Disminuye el error del sistema en régimen permanente. 3º - Aumenta la inestabilidad del sistema.

Los dos primeros efectos son positivos y deseables. El último efecto es negativo y hay que intentar minimizarle. Por lo tanto al aumentar la acción proporcional existe un punto de equilibrio en el que se consigue suficiente rapidez de respuesta del sistema y reducción del error, sin que el sistema sea demasiado inestable. Aumentar la acción proporcional más allá de este punto producirá una inestabilidad indeseable. Reducir la acción proporcional, reducirá la velocidad de respuesta del sistema y aumentará su error permanente.

PID. Respuesta al Control Proporcional.

En los gráficos anteriores puede observarse el efecto de aumentar progresivamente la acción proporcional en un control de posición.

  • Con una acción proporcional pequeña Kp=2, el sistema es lento, tardando 20 segundos en alcanzar la posición deseada y el error de posición es grande, de 50 milímetros. A medida que se aumenta la acción proporcional, el error disminuye y la velocidad de respuesta aumenta.
  • Con una ganancia proporcional Kp=20 el sistema es más rápido, tardando 12 segundos en establecerse la posición permanente. Asimismo el error se ha reducido hasta una décima parte, sólo 5 milímetros. También se puede observar un sobrepulso en la respuesta, y el comienzo de cierta inestabilidad.
  • Con ganancias mayores se consigue disminuir todavía más el error permanente, pero la velocidad de respuesta no aumenta porque el sistema se vuelve tan inestable que la posición tarda mucho en establecerse en su estado final.

En este ejemplo la acción proporcional se ha escalado de forma que sus valores se encuentren entre 0 y 100.

Llegado a este punto, puede verse que la acción proporcional no puede mejorar más la respuesta del sistema. La mejor opción con Kp=20 presenta un sobrepulso de unos 30 milímetros y un error permanente de 5 milímetros. Si se desea mejorar esta respuesta hay que incorporar otro tipo de control. Aquí es dónde el control derivativo puede ayudar a mejorar la respuesta del sistema.

Acción de control Derivativa

Como su nombre indica, esta acción de control es proporcional a la derivada de la señal de error e(t). La derivada del error es otra forma de llamar a la “velocidad” del error. A continuación se verá porqué es tan importante calcular esta velocidad. En las gráficas anteriores, cuando la posición se encuentra por debajo de 150mm, la acción de control proporcional siempre intenta aumentar la posición. El problema viene al tener en cuenta las inercias. Cuando el sistema se mueve a una velocidad alta hacia el punto de referencia, el sistema se pasará de largo debido a su inercia. Esto produce un sobrepulso y oscilaciones en torno a la referencia. Para evitar este problema, el controlador debe reconocer la velocidad a la que el sistema se acerca a la referencia para poder frenarle con antelación a medida que se acerque a la referencia deseada y evitar que la sobrepase.

Aumentar la constante de control derivativa Kd tiene los siguientes efectos:

1º.- Aumenta la estabilidad del sistema controlado. 2º.- Disminuye un poco la velocidad del sistema. 3º.- El error en régimen permanente permanecerá igual.

Esta acción de control servirá por lo tanto para estabilizar una respuesta que oscile demasiado.

PID. Respuesta al Control Derivativo.

En los gráficos anteriores puede verse como, al aumentar la acción derivativa Kd, se consigue disminuir las oscilaciones hasta el punto de que desaparecen para Kd=50. También puede apreciarse cómo la respuesta se hace un poco más lenta al aumentar la constante derivativa. Con Kd=0 el sistema tarda 1.8 segundos en subir hasta el valor de referencia. Con Kd=20 el sistema tarda 2 segundos en subir hasta el valor de referencia. En este ejemplo la acción derivativa se ha escalado de forma que sus valores se encuentren entre 0 y 100.

Un problema que presenta el control derivativo consiste en que amplifica las señales que varían rápidamente, por ejemplo el ruido de alta frecuencia. Debido a este efecto, el ruido de la señal de error aparece amplificado en el accionamiento de la planta. Para poder reducir este efecto es necesario reducir el ruido de la señal de error mediante un filtro paso bajos antes de aplicarla al término derivativo. Con este filtro la acción derivativa se encuentra limitada, por lo que es deseable reducir el ruido de la señal de error por otros medios antes de recurrir a un filtro paso bajos.

Llegado a este punto, el sistema es rápido y estable, pero mantiene todavía un pequeño error en régimen permanente. Esto significa que la posición real del sistema no es exactamente la posición deseada. Para poder reducir este error se recurre a la tercera acción del controlador PID, el control Integral.

Acción de control Integral

Esta acción de control como su nombre indica, calcula la integral de la señal de error e(t). La integral se puede ver como la suma o acumulación de la señal de error. A medida que pasa el tiempo pequeños errores se van sumando para hacer que la acción integral sea cada vez mayor. Con esto se consigue reducir el error del sistema en régimen permanente. La desventaja de utilizar la acción integral consiste en que esta añade una cierta inercia al sistema y por lo tanto le hace más inestable.

Aumentar la acción integral Ki tiene los siguientes efectos:

1º.- Disminuye el error del sistema en régimen permanente. 2º.- Aumenta la inestabilidad del sistema. 3º.- Aumenta un poco la velocidad del sistema.

Esta acción de control servirá para disminuir el error en régimen permanente.

PID. Respuesta al Control Integral.

En las gráficas anteriores se ha añadido una señal de error ampliada, de color verde, para apreciar mejor cómo se reduce el error a medida que aumenta la acción integral. Otro efecto visible es el aumento de la inestabilidad del sistema a medida que aumenta Ki. Por esta razón el control integral se suele combinar con el control derivativo para evitar las oscilaciones del sistema.

Sintonización manual de un controlador PID

Después de ver las diferentes acciones proporcional, integral y derivativa de un control PID, se pueden aplicar unas reglas sencillas para sintonizar este controlador de forma manual.

1º - Acción Proporcional.
Se aumenta poco a poco la acción proporcional para disminuir el error (diferencia entre el estado deseado y el estado conseguido) y para aumentar la velocidad de respuesta.
Si se alcanza la respuesta deseada en velocidad y error, el PID ya está sintonizado.
Si el sistema se vuelve inestable antes de conseguir la respuesta deseada, se debe aumentar la acción derivativa.
2º - Acción Derivativa.
Si el sistema es demasiado inestable, se aumentará poco a poco la constante derivativa Kd para conseguir de nuevo estabilidad en la respuesta.
3º - Acción Integral.
En el caso de que el error del sistema sea mayor que el deseado, se aumentará la constante integral Ki hasta que el error se minimice con la rapidez deseada.
Si el sistema se vuelve inestable antes de conseguir la respuesta deseada, se debe aumentar la acción derivativa.

Con estas sencillas reglas es sencillo afinar poco a poco el controlador PID hasta conseguir la respuesta deseada.

Saturación y límites del controlador PID

En los sistemas reales existen limitaciones que reducen la capacidad del controlador para conseguir la respuesta deseada. Por mucho que se aumente la acción proporcional, llegará un momento en el que el accionador se saturará y no podrá dar más de sí. Por ejemplo en un sistema de control de temperatura, la resistencia calefactora podrá suministrar potencia hasta los 2000 vatios. Si el controlador intenta entregar más potencia para conseguir más velocidad de calentamiento, no se podrá y el sistema no conseguirá mayor rapidez. Aunque se aumente la acción de control proporcional el límite del accionador de 2000 vatios limita la velocidad máxima de calentamiento.

Por lo tanto hay que tener en cuenta que la velocidad de respuesta de los sistemas reales tiene ciertos límites que el control no podrá superar.

Simuladores de control PID

Este pequeño programa simula un carro guiado de forma automática y controlado por un controlador PID. El objetivo del programa es aprender a modificar los parámetros del controlador PID para conseguir que el carro se posicione con rapidez y sin error.

Este otro programa simula el calentamiento de una caldera utilizada para calentar a su vez agua de calefacción. El sistema térmico utiliza dos controles PID para controlar las dos distintas temperaturas del agua.

Referencias

Wikipedia: Controlador PID

Wikipedia: Sistema de control

Wikipedia: Servomotor

[1] Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna. Tercera edición. Editorial Prentice Hall.

[2] Ogata, Katsuhiko. Sistemas de control en tiempo discreto. Segunda edición. Editorial Prentice Hall.