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Tecnología => Foro Técnico => Mensaje iniciado por: Carlos en 13/Jun/2015, 22:01:26 pm
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Fórmulas para el cálculo de regresión lineal
La regresión lineal permite calcular la ecuación de una recta a partir de datos muestreados con ruido aleatorio.
Es util para eliminar el ruido de una serie de datos tomados del mundo real y conseguir medidas más exactas o aproximar una relación lineal entre dos variables.
(https://www.picuino.com/foro/index.php?action=dlattach;topic=28.0;attach=27)
Enlaces:
http://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n_lineal
http://www.monografias.com/trabajos30/regresion-multiple/regresion-multiple.shtml
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_regression
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Regresión lineal de dos parámetros:
En este modelo se calcula la ecuación de una recta con pendiente a y offset b.
Ecuación: y = a·x + b
(https://www.picuino.com/foro/index.php?action=dlattach;topic=28.0;attach=27)
a = (N·Sxy - Sx·Sy) / (N·Sx2 - (Sx)^2)
b = (Sy - a·Sx) / N
r = (N·Sxy - Sx·Sy) / sqrt( (N·Sx2 - (Sx)^2) · (N·Sy2 - (Sy)^2) )
error = sqrt( (Sy2 - b·Sy - a·Sxy) / (n-2) )
N = número de datos calculados
Sx = Sumatorio de los valores x
Sy = Sumatorio de los valores y
Sx2 = Sumatorio de los valores x al cuadrado
Sy2 = Sumatorio de los valores y al cuadrado
Sxy = Sumatorio de la multiplicación de los valores x e y
r = coeficiente de correlación
error = error estándar de estimación
Ejemplo:
X | Y | X^2 | Y^2 | XY |
0 | 3 | 0 | 9 | 0 |
1 | 5 | 1 | 25 | 5 |
2 | 6 | 4 | 36 | 12 |
3 | 8 | 9 | 64 | 24 |
4 | 9 | 16 | 81 | 36 |
Sumatorios:
Sx | Sy | Sx2 | Sy2 | Sxy |
10 | 31 | 30 | 215 | 77 |
Cálculo de parámetros:
a = (N·Sxy - Sx·Sy) / (N·Sx2 - Sx ^ 2) = (5·77 - 10·31) / (5·30 - 10^2) = 1.5
b = (Sy - a·Sx) / N = (31 - 1.5 · 10) / 5 = 3.2
r = (N·Sxy - Sx·Sy) / sqrt( (N·Sx2 - (Sx)^2) · (N·Sy2 - (Sy)^2) ) =
(5·77 - 10·31) / sqrt( (5·30 - 10^2) · (5·215 - 31^2) ) = 0,9934
error = sqrt( (Sy2 - b·Sy - a·Sxy) / (n-2) ) =sqrt( (215 - 3.2·31 - 1.5·77) / (5-2) ) = 0.3162
y = 1.5 x + 3.2
Gráfica:
(https://www.picuino.com/foro/index.php?action=dlattach;topic=28.0;attach=30)
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Regresión lineal de un parámetro:
En este modelo, se supone que la recta de regresión pasará por el punto (0, 0)
Ecuación: y = a·x
(https://www.picuino.com/foro/index.php?action=dlattach;topic=28.0;attach=33)
a = Sxy / Sx2
r = (N·Sxy - Sx·Sy) / sqrt( (N·Sx2 - (Sx)^2) · (N·Sy2 - (Sy)^2) )
error = sqrt( (Sy2 - a·Sxy) / (n-2) )
N = número de datos calculados
Sx = Sumatorio de los valores x
Sy = Sumatorio de los valores y
Sx2 = Sumatorio de los valores x al cuadrado
Sy2 = Sumatorio de los valores y al cuadrado
Sxy = Sumatorio de la multiplicación de los valores x e y
r = coeficiente de correlación
error = error estándar de estimación
Ejemplo:
X | Y | X^2 | Y^2 | XY |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 4 | 1 | 16 | 4 |
2 | 4 | 4 | 16 | 8 |
3 | 8 | 9 | 64 | 24 |
4 | 8 | 16 | 64 | 32 |
Sumatorios:
Sx | Sy | Sx2 | Sy2 | Sxy |
10 | 25 | 30 | 161 | 68 |
Cálculo de parámetros:
a = Sxy / Sx2 = 68 / 30 = 2.6667
r = (N·Sxy - Sx·Sy) / sqrt( (N·Sx2 - (Sx)^2) · (N·Sy2 - (Sy)^2) ) =
(5·68 - 10·25) / sqrt( (5·30 - 10^2) · (5·161 - 25^2) ) = 0,94868
error = sqrt( (Sy2 - a·Sxy) / (n-2) ) =sqrt( (161 - 2.6667·68) / (5-2) ) = 1.5129
y = 2.6667 · x
Gráfica:
(https://www.picuino.com/foro/index.php?action=dlattach;topic=28.0;attach=35)
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Regresión lineal pasando por un punto:
Punto = (x0, y0)
y = y0 + a·(x - x0)
a = (Sxy - x0·Sy - y0·Sx + N·x0·y0) / ( Sx2 - 2·x0·Sx + N·xo^2)